Александр Николаевич a.k.a. Саша (aadamchuk) wrote in kolmogorov,
Александр Николаевич a.k.a. Саша
aadamchuk
kolmogorov

В. И. Арнольд "Об А. Н. Колмогорове"

Об   А. Н. Колмогорове *

В.  И.  А р н о л ь д
 

Мне всегда хотелось понять, как Андрей Николаевич переходил от одной темы к другой: занятия разными предметами прихотливо сменялись у него непредсказуемым, по-видимому, образом. Например, работы по малым знаменателям в классической механике никак не были подготовлены ничем предыдущим и появились в 1953–1954 годах совершенно неожиданно. Так же неожиданно появились в 1935 году и топологические работы Андрея Николаевича.

Для себя я построил некоторую теорию происхождения работ об инвариантных торах: она начиналась с занятий Андрея Николаевича турбулентностью. В известной статье Ландау 43-го года возникновение турбулентности «объяснялось» именно при помощи инвариантных торов — аттракторов в фазовом пространстве уравнения Навье–Стокса. Ламинарному течению, наблюдающемуся при малом числе Рейнольдса, соответствует устойчивое положение равновесия (точечный аттрактор). Сценарий Ландау перехода к турбулентности — это последовательность бифуркаций при увеличении числа Рейнольдса. Сначала возникает предельный цикл, затем аттрактор становится двумерным тором, при дальнейшем росте числа Рейнольдса размерность инвариантного тора растёт. Может оказаться, замечал Андрей Николаевич при обсуждении сценария Ландау, что уже при конечном числе Рейнольдса произойдёт переход к бесконечномерному тору и даже к сплошному спектру. С другой стороны, даже если размерность инвариантного тора остаётся конечной при фиксированном числе Рейнольдса, спектр условно периодического движения на достаточно многомерном торе содержит столь много частот, что он практически неотличим от сплошного. Вопрос о том, какой из этих двух случаев имеет место на самом деле, ставился Андреем Николаевичем не раз. В конце пятидесятых годов на доске объявлений механико-математического факультета МГУ была вывешена им программа семинара по теории динамических систем и гидродинамике (программа включала среди прочего проблему доказательства практической невозможности долгосрочного динамического прогноза погоды вследствие сильной её зависимости от высоких гармоник начальных условий)1. Над торами Ландау Андрей Николаевич несколько посмеивался: «Видимо, другие динамические системы не были ему (Ландау) известны».

Переход от торов Ландау к динамическим системам на торе был бы вполне естественным ходом мысли. В конце концов я почти поверил в свою теорию и (в 1984 году) спросил Андрея Николаевича, было ли так на самом деле. «Нет, — ответил Андрей Николаевич, — об этом я тогда совсем не думал. Главное было то, что в 1953 году появилась надежда. От этого я почувствовал какой-то необыкновенный подъём. О задачах небесной механики я думал давно, с детства, с Фламмариона, а потом — читая Шарлье, Биркгофа, механику Уиттекера, работы Крылова и Боголюбова, Шази, Шмидта. Несколько раз пытался, но не получалось. А тут начало получаться».

Дело было так. Андрей Николаевич ввёл в это время на механико-математическом факультете МГУ математический практикум и подбирал для него задачи. В числе задач он выбрал исследование движения тяжёлой точки по симметричному относительно вертикальной оси тору. Это вполне интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы, и движение в ней происходит, как правило, по двумерным торам в фазовом пространстве. Эти торы условно периодически обматываются траекториями: угловые координаты на них можно выбрать так, что они будут при движении фазовой точки меняться равномерно.

В то время теория интегрируемых гамильтоновых систем не была, как сейчас, модной областью математики. Считалось, что это безнадёжно устарелая, отжившая и чисто формальная область аналитической механики. Заниматься подобной «неактуальной тематикой» считалось предосудительной для математика уступкой давлению внешних обстоятельств (предполагалось, что математики должны складывать простые числа, обобщать интегралы Лебега, исследовать непрерывные, но не дифференцируемые группы)2. Андрей Николаевич, посмеиваясь, говорил, что французы пишут «Небесная механика» с прописной буквы, а «прикладная» со строчной. И всегда с некоторым презрением относился ко всем видам «математического империализма» независимо от его источника (будь то Бурбаки или МИАН).

Итак, Андрей Николаевич заметил, что в «интегрируемых» задачах математического практикума надлежащим образом определённые фазы на торе меняются со временем равномерно. Он сразу же поставил себе вопрос: так ли это, если система на торе не интегрируема, а лишь имеет интегральный инвариант (сохраняет меру с положительной аналитической плотностью)? Этот вопрос он решил в заметке 1953 года о системах на торе — первой, где появляются малые знаменатели. В техническом отношении эта заметка не сложна (хотя в ней уже содержатся некоторые леммы, необходимые для фундаментальной работы 1954 года). Вывод Андрея Николаевича таков: почти всегда можно ввести равномерно меняющиеся со временем фазы, но иногда (при ненормально хорошо приближаемом рациональными числами отношении частот) возможно перемешивание (образ маленького круга под действием фазового потока размазывается по всему тору).

Замечание о перемешивании, относящееся к патологическому (встречающемуся бесконечно редко) случаю, не кажется особенно важным. Но именно оно-то и стало источником знаменитой работы Андрея Николаевича о малых знаменателях, опубликованной в 1954 году, где доказано сохранение инвариантных торов при малом изменении функции Гамильтона.

Рассуждения Андрея Николаевича (упомянутые им в докладе на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 году) состояли в следующем.

В интегрируемых системах движение по инвариантным торам всегда условно периодично (можно ввести равномерно вращающиеся со временем фазы). Следовательно, перемешивание в интегрируемых системах не встречается. Чтобы узнать, имеет ли открытое им явление механические приложения, Андрей Николаевич решил отыскать движения по торам в неинтегрируемых системах, где в принципе перемешивание могло бы наблюдаться.

Но как найти инвариантный тор в фазовом пространстве неинтегрируемой системы? Естественно начать с теории возмущений, рассмотрев систему, близкую к интегрируемой. Различные варианты теории возмущений многократно обсуждались в небесной механике, а потом — в ранней квантовой механике 3.

Но все эти теории возмущений приводят к расходящимся рядам. Андрей Николаевич понял, что расходимость можно преодолеть, если вместо разложений по степеням малого параметра использовать метод Ньютона в функциональном пространстве (о котором он незадолго до того прочёл в статье Л. В. Канторовича «Функциональный анализ и прикладная математика» в «Успехах математических наук»).

Таким образом, «метод ускоренной сходимости» Колмогорова был придуман вовсе не ради тех замечательных приложений в классических проблемах механики, к которым он приводит, а ради исследования возможности реализации специальной теоретико-множественной патологии в системах на двумерном торе (перемешивания).

Поставленную им себе задачу о реализации перемешивания на слабо возмущённых инвариантных торах Андрей Николаевич при этом не решил, так как на найденных им торах его метод автоматически строит равномерно меняющиеся при движении фазовой точки угловые координаты. Вопрос о перемешивании, из которого выросла вся работа Андрея Николаевича, насколько я знаю, остаётся нерешённым и сегодня.

Значение этого технического вопроса по сравнению с полученными результатами ничтожно. Сейчас о нём никто уже и не вспоминает. Физики говорят (я слышал это от М. А. Леонтовича), что новая физика чаще всего начинается с уточнения последнего десятичного знака. Новая математика, как мы только что видели, тоже может рождаться при уточнении мелких технических деталей предшествующих работ. Уже из этого ясно, что планирование фундаментальных исследований — бюрократическая бессмыслица (и чаще всего обман).


*   *   *

Хотя сам Андрей Николаевич считал основной причиной своей работы надежды, появившиеся в 1953 году, о Сталине он (следуя старому принципу говорить о покойниках только хорошее) всегда отзывался с благодарностью: «Во-первых, он подарил каждому академику по одеялу в тяжёлый военный год, а во-вторых, простил моё рукоприкладство в Академии, сказавши "и у нас такое бывает"». Впрочем, и о Лысенко, попавшем в опалу, Андрей Николаевич старался говорить хорошее, утверждая, что тот искренне заблуждался по невежеству (пока Лысенко был у власти, отношение Андрея Николаевича к этому «борцу со случайностью в науке» было совсем другим).

Повторяя сказанное Ходасевичем о Горьком, можно сказать об Андрее Николаевиче, что он был одновременно и одним из самых упрямых, и одним из самых нестойких людей.

«Когда-нибудь я Вам всё объясню», — говорил мне Андрей Николаевич, совершая какой-либо противоречащий своим принципам поступок. Давление на Андрея Николаевича оказывал, по-видимому, некий злой гений, влияние которого было огромным (роль передающего давление звена исполняли известные математики). Андрей Николаевич немного не дожил до того времени, когда об этих вещах стало можно говорить, и, как почти все пережившие тридцатые и сороковые годы люди его поколения, боялся «их» до последнего дня. Не надо забывать, что для профессоров того времени не сообщить куда следует о крамольных речах студента или аспиранта нередко означало быть завтра же обвинённом в сочувствии крамольным идеям (в доносе этого же студента или аспиранта-провокатора).


*   *   *

Андрей Николаевич говорил, что никогда не мог с полным напряжением интенсивно думать о математической проблеме более двух недель. И считал, что любое разовое открытие можно изложить на четырёх страницах заметки в «Докладах», «потому что человеческий мозг не способен разом создать что-либо более сложное». Живой интерес к предмету своих занятий сохранялся у Андрея Николаевича, по его словам, только до тех пор, пока было неясно, в какую сторону вопрос решается («как будто идёшь по острию бритвы»). Как только ситуация прояснялась, Андрей Николаевич старался как можно быстрее отделаться от писания доказательств и начинал искать, какому бы подмастерью отдать всю область. В такие моменты следовало держаться от него подальше.

В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая — пионерская, это прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие, часто опровергающее сложившиеся представления. Затем следует техническая стадия — длительная и трудоёмкая. Теория обрастает деталями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает всё большее число приложений. Наконец, в третьей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему и на её связи с другими, по-видимому, далёкими от неё вопросами: делается возможным прорыв в новую область исследований.

Для математических работ Андрея Николаевича характерно то, что он явился пионером и первооткрывателем во многих областях, решая порой двухсотлетние проблемы. Технической работы по обобщению построенной теории Андрей Николаевич старался избегать (он говорил, между прочим, что на этой стадии особенно преуспевают евреи, скорее с восхищением, поскольку свое инстинктивное отвращение к этому виду деятельности Андрей Николаевич воспринимал как недостаток 4). Зато на третьей стадии, где надо осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий Андрею Николаевичу принадлежат замечательные достижения.


*   *   *

Пример неожиданного прорыва Андрея Николаевича в новую область — его топологические работы, опубликованные в четырёх заметках в «Comptes Rendus» и доложенные на Московской топологической конференции 1935 года. В этих работах Андреем Николаевичем построена (одновременно с Дж. Александером и независимо от него) теория когомологий. После этого Андрей Николаевич топологией не занимался, но, когда появились работы Милнора о дифференцируемых структурах на сферах, они произвели на Андрея Николаевича сильнейшее впечатление. После доклада Милнора на съезде в Ленинграде в 1961 году Андрей Николаевич поручил мне, бывшему тогда аспирантом, разобрать доказательства и рассказать ему, в чём дело. Я пытался выполнить поручение, стал учиться у В. А. Рохлина, С. П. Новикова и Д. Б. Фукса (и даже был оппонентом у С. П. Новикова на защите кандидатской диссертации — о дифференцируемых структурах на произведениях сфер). Но попытки объяснить что-либо Андрею Николаевичу успехом не увенчались. «Мои работы по топологии, — сказал мне тогда Андрей Николаевич, — так и не были как следует поняты. Ведь я исходил из физических понятий — из гидродинамики и электромагнитной теории, а совсем не из комбинаторики. Группы когомологий, которые я тогда ввёл, все усвоили и используют теперь. Но ведь в этих заметках было сделано большее — я построил не только группы, но и кольцо! Это кольцо гораздо важнее, и я думаю, что, если топологи освоят и его, можно получить много интересного».

По-видимому, все сведения о развитии топологии после 1935 года Андрей Николаевич почерпнул у П. С. Александрова и его учеников. Во всяком случае, приведённая выше оценка кольца когомологий Андреем Николаевичем замечательна: в ней содержится и проницательный анализ своей работы, и оправдавшийся прогноз значения когомологических операций. (Этот комментарий к приведённому высказыванию Андрея Николаевича принадлежит В. А. Рохлину, проявившему в этом случае необычную для него терпимость; я же все шестидесятые годы с наивной непримиримостью воинственно пытался рассказать своему учителю, что на самом деле произошло в топологии за тридцать предыдущих лет.)


*   *   *

Но у Андрея Николаевича были на всё свои готовые точки зрения. Например, он говорил мне, что спектральные последовательности содержатся в казанской работе Павла Сергеевича Александрова. И что после шестидесяти лет заниматься математикой не следует (этот вывод, видимо, основывался на опыте общения с математиками предшествующих поколений). Так что мои попытки объяснить Андрею Николаевичу гомотопическую топологию окончились так же неудачно, как и обучить его кататься на велосипеде и поставить его на водные лыжи. Андрей Николаевич мечтал после шестидесяти лет пойти в бакенщики и задолго пытался подобрать себе подходящий участок на Волге. Но когда подошло время, бакенщики уже перешли с гребных лодок на ненавистные Андрею Николаевичу моторки, и проект пришлось оставить. Так Андрей Николаевич решил вернуться к профессии школьного учителя, с которой он когда-то начинал.

журнал "Советское фото" N 10 (1974), фотограф В.Христофоров   журнал "Советское фото" N 7 (1964), фотограф Виктор Ахломов
журнал "Советское фото" N 4 (1964), фотограф Лев Шерстенников

*   *   *

Последняя математическая работа, о которой мне рассказывал Андрей Николаевич (вероятно, в 1964 году), имела «биологическое» происхождение. Речь шла о минимальном кубе, в котором можно уместить «мозг» или «компьютер» из N элементов («нейронов») фиксированного размера, каждый из которых соединён с не более чем k другими при помощи «проволок» фиксированной толщины. Число k фиксировано, а N стремится к бесконечности. Ясно, что очень простой «мозг» (вроде «червя» из N последовательно соединённых элементов) можно уместить в куб радиуса порядка 3N. Серое вещество мозга (тела нейронов) расположено по поверхности, а белое (связи) — внутри. Этот факт привёл Андрея Николаевича к гипотезе, что минимальный радиус имеет порядок N, причём никакой достаточно сложный мозг в куб меньшего радиуса уместить нельзя (словам «достаточно сложный» можно придать точный математический смысл).

В конце концов так и оказалось (в первоначальных оценках Андрея Николаевича были лишние логарифмы, окончательный результат без логарифмов — совместный с Барздинем).

Конечно, Андрей Николаевич прекрасно понимал, что к устройству биологического мозга его теоремы имеют мало отношения, и поэтому в статье о мозге не упоминается. Но источником всей теории на самом деле были всё же размышления о сером и белом веществе. Интересно отметить, что эта работа, быть может, вследствие слишком серьёзного, математического изложения осталась малоизвестной даже специалистам. Когда я упомянул о ней в посвящённой Андрею Николаевичу статье в «Physics Today» (октябрь 1989), на меня сразу же посыпались письма от американских инженеров, видимо, занимающихся миниатюризацией компьютеров, с просьбой указать точную ссылку на работу Андрея Николаевича.


*   *   *

Недавно я побывал в горах под Марселем и снова обошёл каланки — замечательную систему фьордов в полукилометровом отвесном обрыве приморских Альп. Это место мне указал Андрей Николаевич в 1965 году: пустынные горы в пяти километрах от Марселя, маркированная тропа, где стрелка указывает вниз, за обрыв. Оказывается, там есть уступ для ноги. Если поставить на него ногу, можно увидеть следующий уступ — и понемногу спуститься к морю. Так рассказывал Андрей Николаевич — а сейчас в этом месте построен университет Люмини.

Разговаривать с Андреем Николаевичем всегда было очень интересно, и я жалею, что не записывал его рассказов. К счастью, остались письма. Несколько отрывков, приведённых ниже, дают, мне кажется, довольно отчётливое представление об их авторе и его мироощущении.


Москва, 28 марта 1965 

«... Был очень рад получить Ваше письмо от 14 февраля по возвращении с Кавказа, куда я уехал 5 марта и оттуда вернулся 23-го. Ездили мы впятером (Дима Гордеев, Лёня Бассалыго, Миша Козлов и Пер Мартин-Лёв — двадцатидвухлетний мой шведский стажёр). В Бакуриани сначала шесть дней шёл снег, что не мешало нам путешествовать кругом. Вдвоём с Пером мы, в частности, преодолели большой спуск в Цагвери по ущелью Чёрной речки. Дима же Гордеев упорно тренировался по восемь часов в сутки на слаломной горке. Потом приехал С. В. Фомин и привёз солнечную погоду. В первый же солнечный день мы пошли на склоны местного хребтика Цхара-Цхара, и там за три часа на высоте около 2400 все мои мальчики так обожглись (гуляя в плавках и без оных), что две следующие ночи даже не спали как следует. В четвёртый солнечный день мы прошли упомянутый хребтик (высотою в 2800) по верху, что оказалось своевременно, так как в следующий день горы покрылись облаками, из-под которых дул противный ветер. В Тбилиси я, Миша Козлов и Мартин-Лёв делали доклады, а все осматривали всякие достопримечательности и спаивались местными математиками. Потом ещё уместились две целодневные экскурсии:

а) в Бетанию — недалеко от Тбилиси, где в лесу было возле остатков снега множество весенних цветов (обычных наших голубых подснежников, маленьких цикламенов, крокусов, ранних ирисов). Целью, впрочем, была церковь 12 в. с фресками;

б) в Кинцвисси — недалеко от Гори на склонах Триалетского хребта, где имеется действительно замечательная роспись начала 13 в., впечатление от которой, как от произведения большого и вполне индивидуального (хоть и безымянного) художника, сравнимо с впечатлением от Дионосиевых фресок в Ферапонтове. Конец пути к самому памятнику оказался несколько затруднителен, так что туда кроме нас попал только Г. С. Чогошвили, а остальные, насколько я мог понять, в течение четырёх часов ожидания неплохо пировали в ближайшей доступной автомобилям деревне. Потом, впрочем, был ещё торжественный ужин в интуристском ресторане в Гори рядом с домиком, где родился Сталин. Из Гори мы сразу и отбыли в Москву (наши лыжи были в Тбилиси вгружены в поезд в сопровождении молодого тбилисского математика, для того отряженного. Вероятно, после нашего отъезда наши компаньоны вместе с ним ещё не раз посетили тот же ресторан).

Вам же кататься на лыжах полагается на пасхе (т.е. в течение двух недель с 18 апреля по 2 мая). По путеводителю по Савойе, или Дофине, Вы можете выбрать себе там лыжную станцию по вкусу, в это время желательно из самых высоких (1700–2000 м). Место в гостинице любого ранга (начиная с общежития с койками в два яруса) надо заказывать заранее. Прокатные лыжи Вас, вероятно, вполне удовлетворят, если Вы не собираетесь покупать их для импорта к нам...

Я не хочу злословить по поводу **, но и не хочу защищать его от Вашего предположения на счёт его способности считать интересными лишь области математики, которыми он сам интересуется, или хотя бы владеет. Но за себя я хочу несколько защититься. Я сейчас неизбежно очень занят тем, чтобы успеть сделать всё то, что ещё мне осталось сделать самому, а планы у меня довольно большие и разнообразные. Поэтому я несколько скуп на усилия по изучению вещей, в которых не предполагаю проявлять свою собственную активность, а иногда даже на более лёгкие усилия, требующиеся, например, для того, чтобы с пониманием слушать обзорные доклады (или, скажем, Ваши объяснения). У моих молодых друзей здесь часто бывает непонимание неизбежных возрастных отличий, такое же как при желании научить меня непременно кататься на велосипеде или на водных лыжах.

Но склонности отрицать объективный интерес и значительность новых направлений, возникающей из такого самоограничения, я за собой не наблюдаю. Иногда я воздерживаюсь от суждения, иногда даже активно поддерживаю и рекомендую для изучения молодым вещи, которые по общему впечатлению кажутся мне значительными и перспективными, хоть и выходящими за пределы моего собственного репертуара. Если же я более активно и темпераментно защищаю значительность направлений, которые ценю в силу знания их структуры (иногда скрытой от пассивно читающих готовые работы) и перспективы, то это мне кажется понятным и законным. Таковы наши «малые знаменатели» и многое другое.

Передайте от меня особенный привет Лерэ, его жене и детям. У меня с ним тоже складывались более непринуждённые и личные отношения, чем с другими французскими математиками. Впрочем, так было со Шварцем и в другом роде с Фаваром, а из людей сравнительно незаметных, с А. Ренье (теория вероятностей и статистика с инженерными и физическими применениями). Я был бы рад получить материалы, которые помогли бы мне написать содержательный некролог о Фаваре. Математические его работы я достаточно знаю, но недостаточно его педагогическую и общественную деятельность и личную биографию. И то и другое достаточно интересно (включая активную помощь испанским эмигрантам и, вообще, самые неожиданные для математика виды деятельности)...

Заключительная фраза с поправками... (раскаиваюсь) казнюсь, что Вас (обижал) огорчал... мне очень нравится. Вторая поправка безусловно правильна, так как «обидеть» меня не так легко. Замена «раскаиваюсь» на «казнюсь», видимо, означает, что раскаиваться в чём-либо Вам не свойственно... Могила Урысона находится в местечке Бац около Круазика, кажется, ещё жива мадемуазель Корню — старая дева, эту могилу оберегающая.»


Москва, 11 октября 1965 

«... Только сейчас собрался отвечать на Ваше письмо от 29 августа из Шамони, так как в начале сентября был очень занят, а потом уезжал в Югославию (Белград, экскурсия в «старую Сербию» в поисках неких фресок 13 в., Загреб и экскурсия на берег Адриатического моря).

Я действительно довольно много наблюдал мнения и нравы самых различных кругов во Франции и других странах, но кое-что из того, что Вы пишете, мне было интересно. В положении молодого человека на равной ноге со студентами я был во Франции лишь в 1930–31 годах, а в 1958 хоть и прожил несколько дней в общежитии лыжников со спальными местами, расположенными в два яруса, воспринимался окружающими всё же в виде профессора (каковым, конечно, и Вы являетесь, но пока на Вас это не написано).

Фреше я непременно напишу. Но пока всё нахожусь в крайнем цейтноте. Я ещё глубже впутался в школьные дела: в рядовой школе в Болшеве с одной сотрудницей мы пробуем преподавать начала дифференциального исчисления в девятом классе и там же вводить элементы теории множеств (в теме «геометрический смысл уравнений и неравенств»). Меня сделали председателем математической секции комиссии, которая реально будет вырабатывать программы и заказывать соответствующие учебники. Дело это довольно важное, не безнадёжно кое-что в самом деле сделать.

Из 101-го выпускника школы-интерната лишь 44 пожелали идти на мех-мат и 32 приняты (около 70%, из седьмой школы (Кронрод) около 60%, из остальных много меньше). Зато в физико-техническом институте всех наших кандидатов приняли; видимо, наша подготовка там больше подходит (конкурс там был не меньше). На физическом факультете интернатцы имели ещё несколько меньше успеха (около 60%) из-за крайнего формализма требований по математике «под Новосёлова», а м.б. и недоброжелательства к нашему заведению.

Биографию Фавара я получил, ещё не сделал из неё никакого употребления, но прошу передать благодарности и надеюсь, что кое-что о Фаваре у нас появится.

В Бретани есть много мест более привлекательных, чем Круазик. Поздней осенью там везде пусто, так что Вы можете отправиться странствовать без заказа заранее мест в гостиницах. Надеюсь, посетите в самом деле Бац и Круазик. Я жил там в «Отель де л'Оцеан» на самом берегу моря. Но Вам доступны и всякие «Мезон де Женес», если они открыты не в сезон 5.

Статью о сложности алгоритмов, о которой Вы пишете, я знаю. Это целое небольшое направление исследований, которые однако нуждаются в существенном усовершенствовании: машины Тьюринга здесь не подходящий аппарат. Можно дать разумное определение «минимальной возможности сложности», которое с точностью до ограниченного множителя единственно при широких естественных допущениях. Машины же Тьюринга при истинной сложности порядка T иногда дают T 2. Сейчас удалось придать ему и достаточную простоту...

... Всякое участие Ваше в писании учебников для массовой школы я бы приветствовал, но думаю, что авторский коллектив непременно должен быть связан с экспериментальным преподаванием именно в массовой школе. Для алгебры в 9–10 классах мой коллектив кроме меня включает Шерешевского, который сейчас преподаёт в интернате, но имеет довольно большой опыт и в обычной школе, и некую Суворову, которая уже написанные пробные параграфы испытывает в Болшеве.

При мне звонили из Парижа И. Г. Петровскому по поводу Вашего участия в Журнале, посвящённом новой «Инвесигационной математике», который должен чем-то противопоставляться всем старым журналам. Мы объяснили, что о существовании «инвесигационной математики» в качестве новой науки пока не осведомлены, но знаем Мальгранжа и Титса как отличных математиков...»


*   *   *

Журнал этот — Inventiones Mathematicae. Что же касается писания учебников, то я категорически отказался в этом принимать участие как из-за желания заниматься математикой, так и из-за серьёзнейших разногласий с Андреем Николаевичем (который склонен был считать всех школьников столь же гениальными математиками, как он сам).

Я вспоминаю, как однажды (в середине пятидесятых годов) Андрей Николаевич, собрав у себя дома учеников (студентов, аспирантов) на Рождество, произнёс целую речь о математических способностях. По его теории математические способности человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. «Самый гениальный наш математик, — говорил Андрей Николаевич, — остановился в возрасте четырёх-пяти лет, когда дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя Андрей Николаевич считал остановившимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознательны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их ещё не отвлекают (уровень П. С. Александрова он оценивал, помнится, шестнадцатью или даже восемнадцатью годами).

Так или иначе, Андрей Николаевич всегда предполагал в собеседнике равный себе интеллект — не потому, вероятно, что он неправильно оценивал реальность («большинству студентов всё равно, что говорится на лекциях, — они просто заучивают наизусть к экзамену формулировки нескольких теорем», — говорил он о студентах мех-мата МГУ), а потому, что он был так воспитан (и, вероятно, считал подобное доверие к слушателю полезным и возвышающим). Вероятно, именно поэтому замечательные лекции Андрея Николаевича были столь непонятными для большинства студентов (впрочем, и формально его лекции были крайне далеки от стандартной отупляющей диктовки, господствовавшей в преподавании математики уже тогда и так хорошо высмеянной Р. Фейнманом в «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»).

«Действительно хорошо преподавать математику, — говорил Андрей Николаевич, — может только человек, который сам ею увлечён и воспринимает её как живую, развивающуюся науку». В этом смысле его лекции при всех технических недостатках были замечательно интересны для тех, кто хотел понять идеи, а не проследить за знаками и индексами (среди его лекций, которые мне довелось слышать, были лекции о полях Галуа, динамических системах, формуле суммирования Эйлера, цепях Маркова, теории информации и т.д.).

Быть может, на подходе Андрея Николаевича к преподаванию сказалось и то вольное аспирантское существование, которое он впоследствии вспоминал как самое счастливое время. Аспиранту полагалось тогда сдать 14 экзаменов по 14 различным математическим наукам. Но экзамен можно было заменить самостоятельным результатом в соответствующей области. Андрей Николаевич рассказывал, что он так и не сдал ни одного экзамена, написав вместо этого 14 статей на разные темы с новыми результатами. «Один из результатов, — добавил Андрей Николаевич, — оказался неверным, но я это понял уже после того, как экзамен был зачтён».

Сам Андрей Николаевич был замечательным деканом. Он говорил, что надо прощать талантливым людям их талантливость, и спас не одного из известных сейчас математиков от исключения из университета. Снимая буйного студента со стипендии, этот декан сам же тайком помогал ему пережить трудное время. Уровня, которого достиг тогда факультет, он более никогда не достигал и вряд ли когда достигнет.

«Кажется почти чудом, — писал А. Эйнштейн, вспоминая свои студенческие годы, — что современные методы обучения ещё не совсем удушили святую любознательность, ибо это нежное растеньице требует, прежде всего, наряду со свободой, поощрения. Большая ошибка думать, что чувство долга и принуждение могут способствовать тому, чтобы находить радость в том, чтобы искать и узнавать. Здоровое хищное животное отказалось бы от еды, если бы ударами кнута его заставляли непрерывно есть мясо, особенно если принудительно предлагаемая пища не им выбрана».

От других известных мне профессоров Андрея Николаевича отличало полное уважение к личности студента, от которого он всегда ожидал услышать что-то новое и неожиданное.

Андрей Николаевич преподавать и читать лекции определённо любил независимо даже от явных результатов — он, в частности, считал большим несчастьем прекращение лектория для школьников (существовавшего при Московском математическом обществе до тех пор, пока декан О. Б. Лупанов не отстранил Общество от руководства Московской математической Олимпиадой и школьными кружками).


*   *   *

С удовольствием вспоминал Андрей Николаевич свои юношеские путешествия по Северу, самое длинное — Вологда–Сухона–Вычегда–Печора–Шутор–Сосьва–Обь–Бийск (и далее босиком по Алтаю). В путешествии по Кулою и Пинеге ему удалось установить парус, не поддававшийся усилиям местных рыбаков, после чего Андрей Николаевич был ими признан за своего (проявилось это в том, что его стали материть наравне со своими).

Один из последних длинных разговоров с Андреем Николаевичем — о будущем человечества. Андрей Николаевич всегда с сомнением относился к перечню бывших редакторов на обложке «Mathematische Annalen».

«Как будет выглядеть обложка через 500 лет?» — спрашивал он Гильберта. Более того, он сомневался в возможности существования нашей культуры столь долгое время, прежде всего вследствие демографической катастрофы, предсказанной Мальтусом. Андрей Николаевич мечтал о новом устройстве общества, в котором богатство духовной жизни победит инстинкты. Как ни странны и наивны эти идеи, трудно всерьёз с ними спорить: человечество, скорее, опоздало прислушаться к предупреждению мыслителей, и Андрей Николаевич считал своим долгом о нём напоминать в конце своей долгой и счастливой, несмотря ни на что, жизни.


Источник: http://ega-math.narod.ru/LSP/ANK.htm
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 6 comments